شرح مبدأ العد :
مبدأ العد ::: إذآ كان لدينآ مجموعة من الإجراءات بحيث يمكن ان يتم الاجراء الأول بعدد ن من الطرق
والإجراء الثاني بعدد ن من الطرق وهكذآ
فإن عدد الطرق هي حاصل ضرب عدد الإجراءات ....
مِثآل للتوضيح :
ينتج مصنع من الأقمشة 3 أصناف : صوف وَ قطن وَ قماش ومن كٌل صِنف 3 الوان
أزرق أحمر اخضر ;ومن كل لون قياسين : متر ومترين , أوجدِ عدد الأصناف التي
ينتجها المصنع ؟!
يمكن الحصول على عددها من خلال المخطط الشجري ...
بحيث نرسم 3 اصنآف ومن كل صنف 3 ألوان ومن كل لون قياسين
والآخر نحصل على العدد :::
أيضاً بالإمكان أستخدام مبدأ العد كذآ ::
عدد الاصناف = 3 × 3 × 2 = 18 صنف : /
***
مثال:::
بكم طريقة يمكن لخمس أشخاص ان يستخدموا في آن واحد اجهزة الهاتف في مكان عمل يحتوي على 8 هواتف ؟!
موجود عندنا خمس أشخاص ....
وعدد الهواتف 8 هواتف
الشخص الاول قدامه 8 هواتف فعنده 8 طرق يختآر اي هاتف يكلم به ...
الشخص الثآني قدامه 7 هواتف , ليش ؟ لان الاول اخذ هاتف من بين الثمانية فتبقى 7 لانه كلمواْ في آن واحد
الشخص الثالث قدامه 6 هواتف , ليش ؟ لان الاول والثاني كل واحد اختار فتبقى 6
وهكذآ ...!
.’. الاول __ 8 طرق
الثاني __ 7 طرق
الثالث __ 6 طرق
الرابع __ 5 طرق
الخامس __ 4 طرق
أذن كم عدد الطرق ؟!
8×7 ×6 × 5×4 =6720 طريقة
***
توضيح لمفهوم التباديل والتوافيق وكيفية حل المسآئل الخاصة فيها :::
بدآيةً :::
حاصل ضرب عوامل عددها ن وتبدأ بالعدد ن وتنتهي بالعدد واحد ( مع ملاحظة أن كل عدد
بنقص عن سابقه بـ 1 )
يُسمى مضروب العدد ...
ن!
مثآل :
5! ==> يسمى مضروب العدد 5
.’. 5! = 5 ×4 × 3 × 2 ×1 = 120
مثآل آخر :
أحسبـ/ـي قيمة المقدار :
8 ! / 5! = 8 × 7 × 6 × 5! / 5! ( نختصر )
.’. 8 × 7 ×6 = 336
مثآل آخر :
أوجد/ي قيمة ن التي تحقق المساواة :
ن = 24
:: نحلل المقدار 24 الى عوامله الأولية ...
نلاحظ التحليل يكون :1 , 2 , 3 , 4
.’. مضروب العدد 4 ! = 24
قيمة ن = 4
**
التباديل :
تباديل ن من العناصر مأخوذة رآء رآء ( واحدة بعد واحدة )
ن ل ر : حاصل ضرب عوامل عددها ر تبدأ من العدد ن وتنقص واحد عن كل حد سابق ...
ن ل ن = ن!
ن ل 1 = ن
ن ل 0 = 1
أمثلة :::
أوجدي قيمة كلٍ من ::
7 ل 1 = 7
10000 ل 0 = 1
3 ل 3 = 3! = 3×2 ×1 = 6
9 ل2 = 9× 8 = 72
وهكذآ ...
مثآل آخر :
10 ل2 / [ 2 ! ] = 10 × 9 / 2×1 = 5 × 9 = 45 .......
* الترتيب مهم في التباديل ...
****
التوآفيق :
كل مجموعة جزئية عدد عناصرها ر مأخوذة من مجموعة عدد عناصرها ن تسمى توفيقة ن من العناصر مأخوذ منها ر عنصراً ...
لِحسآبها :
( ن ق ر ) ==> تقرأ ن فوق ر
.’. ( ن ق ر ) = ن ل ر / ر ! ..(1 )
أو حسابها ::
( ن ق ر ) = ن! / ر! × (ن -ر) ! ..(2 )
كلا القانونين ( 1 ) وَ ( 2) يعطي نفس الناتج ..
منها نجد أنّ :
ن ق ن = 1 ..
ن ق 1 = ن
ن ق 0 =1
مِثآل :
إذا كآن ن ق 8 = ن ق 9
أوجد/ي قيمة ن ؟
نلاحظ بما ان عندنا ن ق ن =1
.’. علشان يتساوون لابد كل منهم قيمتها وآحد
.’. 8 ق 8 =1
وَ 9 ق 9 =1
.’. ن =8 وَ ن = 9
.’. 8 +9 = 17
مِثآل آخر :
أوجد/ي عدد المجموعات الجزئية من المجموعة [ أ , ب , ج , د , ه ,و , ز ] والتي يتكون كل منها من 4 عناصر ؟
ر = 4 , عدد العناصر ( ن ) = 7
.’. 7 ق 4 = 7 ل 4 / (4 ! ) = 7 × 6 × 5×4 / 4! =7 ×6 ×5 ×4 / 4×3 ×2 ×1 = 70 /2 = 35 مجموعة جزئية .....
أو من خلال القانون ( 2) :
ن ق ر = 7 ق 4 = 7! / 4! × ( 7-4 )! = 7! / 4! × 3! = 7× 6 × 5 ×4 ! / 4! ×3! = 7×6 ×5 / 6 = 35 طريقة ...
مثآل آخر :
بكم طريقة يمكن لـ معصومة اختيار ثلاثة أسئلة من ورقة أختبار بها خمسة أسئلة ؟!
( أختيار : الترتيب غير مهم )
.’. نستخدم التوافيق ...
.’. 5 ق 3 = 5! / 3! × (2)! = 5×4×3! / 3! × 2! = 5×4 / 2 = 10 طرق ....
وهكذآآ ...
***
الأهم هو كيفية حل المسائل الحياتيّة بإستخدام التوافيق والتباديل ....
* ملاحظآت مهمة :::
التباديل والتوافيق يختلفان في شئ أساسي هو الترتيب
في التباديل نهتم بالتريب بينما في التوافيق لانهتم بالترتيب ...
التباديل : واحد ورآء الآخر , نهتم بالترتيب ...
التوافيق : اختيار , تكوين , تشكيل , الترتيب غير مهم ...
مايدل على التباديل في المسألة :
1 / أختيار لجنة للقيام بأعمال مختلفة ( تحديد وظيفة كرئيس ونائب .. الخ ) ...
2 /الاختيار على التتالي ( واحد وراء الآخر )...
3 / توزيع عناصر على أماكن بحيث يشغل كل عنصر مكان واحد في نفس الوقت ..
مثال (جلوس 4 طلاب على 5 كراسي في صف واحد )
4 / السحب بدون ارجاع ( إحلال )
5 / غير مسموح بالتكرار
والتباديل الترتيب فيها مهم < - : p ..
_
مايدل على التوافيق :
1 / اختيار مجموعة اشخاص ( دون أن يحدد عمل لكل واحد )
2 /اختيار مجموعة جزئية من مجموعة كلية ...
3 / الاختيار او السحب دفعة واحدة ( معاً)...
4/الاختيار (السحب ) عشوائيا ( بدون ترتيب )..
****
أمثلة :::
(1 )
كم عدداً مكوّن من خمسة أعداد مختلفة يمكن تكوينه من خلال الاعداد 3 , 4 ,5 ,6 ,7 ؟
مُختلفة : إذن نستخدم التباديل....
5 ل 5 = 5 ! = 5 ×4 ×3 ×2 ×1 = 20 ×6 = 120 عدد
(2 )
مجلس إدارة شركة يتألف من ثمانية أعضاء
أ / بكم طريقة يمكن أن نختار منهم رئيساً وأميناً ومحاسباً!
ب / بكم طريقة يمكن أن نختار منهم ثلاثة أعضاء دون تحديد وظائف لهم!
الحل :
أ : نهتم بالترتيب إذاً الحل بالتباديل
8ل3 = 8×7×6 = 336 طريقة...
ب : لا نهتم بالترتيب لأن المطلوب أي ثلاثة أعضاء يكون الحل بالتوافيق...
8 فوق 3 = ( 8 ل3) / 3! = 336 / 6 = 56 طريقة..
(3)
مجلس إدارة مكون من 13 عضو ، بكم طريقة يمكن إتخاذ قرار بإتفاق 9 أعضاء ضد 4 أعضاء؟!
نلاحظ هنا لا نهتم بالترتيب والتحديد المطلوب أي 9 أعضاء
يكون الحل بالتوافيق:
13 فوق 9 = 13 فوق 4 = 715 طريقة
(4 )
بكم طريقة يمكن اختيار فريق كرة السلة المكون من خمسة لاعبين من بين 10 طلاب متميزين في لعبة كرة السلة ؟
الحل :-
الترتيب هنآ غير مُهم
.’. نستخدم التوافيق
( 10 فوق 5 ) = ( 10 × 9 × 8 × 7 × 6 ) / ( 5 × 4 × 3 × 2 × 1 ) = 252 طريقة ...
(5 )
عدد طرق اختيار 5 كتب من 8 كتب مختلفة يساوي كم : ؟!
الترتيب غــير مُهم ..
( 8 فوق 5 ) = ( 8 × 7 × 6 × 5 × 4 ) / ( 5 × 4 × 3 × 2 × 1 ) = 56 طريقة ..
(6 )
أوجد عدد طرق تشكيل لجنة فرعية من 4 أشخاص من بين لجنة عامة مكونه من 12 عضواً ؟
الترتيب غير مُهم
نستخدم التوافيق .....
( 12 فوق 4 ) = ( 12 × 11 × 10 × 9 ) / ( 4 × 3 × 2 × 1 ) = 495طريقة
.....
****
مواضيع مشابهة أو ذات علاقة بالموضوع :
مبدأ العد ::: إذآ كان لدينآ مجموعة من الإجراءات بحيث يمكن ان يتم الاجراء الأول بعدد ن من الطرق
والإجراء الثاني بعدد ن من الطرق وهكذآ
فإن عدد الطرق هي حاصل ضرب عدد الإجراءات ....
مِثآل للتوضيح :
ينتج مصنع من الأقمشة 3 أصناف : صوف وَ قطن وَ قماش ومن كٌل صِنف 3 الوان
أزرق أحمر اخضر ;ومن كل لون قياسين : متر ومترين , أوجدِ عدد الأصناف التي
ينتجها المصنع ؟!
يمكن الحصول على عددها من خلال المخطط الشجري ...
بحيث نرسم 3 اصنآف ومن كل صنف 3 ألوان ومن كل لون قياسين
والآخر نحصل على العدد :::
أيضاً بالإمكان أستخدام مبدأ العد كذآ ::
عدد الاصناف = 3 × 3 × 2 = 18 صنف : /
***
مثال:::
بكم طريقة يمكن لخمس أشخاص ان يستخدموا في آن واحد اجهزة الهاتف في مكان عمل يحتوي على 8 هواتف ؟!
موجود عندنا خمس أشخاص ....
وعدد الهواتف 8 هواتف
الشخص الاول قدامه 8 هواتف فعنده 8 طرق يختآر اي هاتف يكلم به ...
الشخص الثآني قدامه 7 هواتف , ليش ؟ لان الاول اخذ هاتف من بين الثمانية فتبقى 7 لانه كلمواْ في آن واحد
الشخص الثالث قدامه 6 هواتف , ليش ؟ لان الاول والثاني كل واحد اختار فتبقى 6
وهكذآ ...!
.’. الاول __ 8 طرق
الثاني __ 7 طرق
الثالث __ 6 طرق
الرابع __ 5 طرق
الخامس __ 4 طرق
أذن كم عدد الطرق ؟!
8×7 ×6 × 5×4 =6720 طريقة
***
توضيح لمفهوم التباديل والتوافيق وكيفية حل المسآئل الخاصة فيها :::
بدآيةً :::
حاصل ضرب عوامل عددها ن وتبدأ بالعدد ن وتنتهي بالعدد واحد ( مع ملاحظة أن كل عدد
بنقص عن سابقه بـ 1 )
يُسمى مضروب العدد ...
ن!
مثآل :
5! ==> يسمى مضروب العدد 5
.’. 5! = 5 ×4 × 3 × 2 ×1 = 120
مثآل آخر :
أحسبـ/ـي قيمة المقدار :
8 ! / 5! = 8 × 7 × 6 × 5! / 5! ( نختصر )
.’. 8 × 7 ×6 = 336
مثآل آخر :
أوجد/ي قيمة ن التي تحقق المساواة :
ن = 24
:: نحلل المقدار 24 الى عوامله الأولية ...
نلاحظ التحليل يكون :1 , 2 , 3 , 4
.’. مضروب العدد 4 ! = 24
قيمة ن = 4
**
التباديل :
تباديل ن من العناصر مأخوذة رآء رآء ( واحدة بعد واحدة )
ن ل ر : حاصل ضرب عوامل عددها ر تبدأ من العدد ن وتنقص واحد عن كل حد سابق ...
ن ل ن = ن!
ن ل 1 = ن
ن ل 0 = 1
أمثلة :::
أوجدي قيمة كلٍ من ::
7 ل 1 = 7
10000 ل 0 = 1
3 ل 3 = 3! = 3×2 ×1 = 6
9 ل2 = 9× 8 = 72
وهكذآ ...
مثآل آخر :
10 ل2 / [ 2 ! ] = 10 × 9 / 2×1 = 5 × 9 = 45 .......
* الترتيب مهم في التباديل ...
****
التوآفيق :
كل مجموعة جزئية عدد عناصرها ر مأخوذة من مجموعة عدد عناصرها ن تسمى توفيقة ن من العناصر مأخوذ منها ر عنصراً ...
لِحسآبها :
( ن ق ر ) ==> تقرأ ن فوق ر
.’. ( ن ق ر ) = ن ل ر / ر ! ..(1 )
أو حسابها ::
( ن ق ر ) = ن! / ر! × (ن -ر) ! ..(2 )
كلا القانونين ( 1 ) وَ ( 2) يعطي نفس الناتج ..
منها نجد أنّ :
ن ق ن = 1 ..
ن ق 1 = ن
ن ق 0 =1
مِثآل :
إذا كآن ن ق 8 = ن ق 9
أوجد/ي قيمة ن ؟
نلاحظ بما ان عندنا ن ق ن =1
.’. علشان يتساوون لابد كل منهم قيمتها وآحد
.’. 8 ق 8 =1
وَ 9 ق 9 =1
.’. ن =8 وَ ن = 9
.’. 8 +9 = 17
مِثآل آخر :
أوجد/ي عدد المجموعات الجزئية من المجموعة [ أ , ب , ج , د , ه ,و , ز ] والتي يتكون كل منها من 4 عناصر ؟
ر = 4 , عدد العناصر ( ن ) = 7
.’. 7 ق 4 = 7 ل 4 / (4 ! ) = 7 × 6 × 5×4 / 4! =7 ×6 ×5 ×4 / 4×3 ×2 ×1 = 70 /2 = 35 مجموعة جزئية .....
أو من خلال القانون ( 2) :
ن ق ر = 7 ق 4 = 7! / 4! × ( 7-4 )! = 7! / 4! × 3! = 7× 6 × 5 ×4 ! / 4! ×3! = 7×6 ×5 / 6 = 35 طريقة ...
مثآل آخر :
بكم طريقة يمكن لـ معصومة اختيار ثلاثة أسئلة من ورقة أختبار بها خمسة أسئلة ؟!
( أختيار : الترتيب غير مهم )
.’. نستخدم التوافيق ...
.’. 5 ق 3 = 5! / 3! × (2)! = 5×4×3! / 3! × 2! = 5×4 / 2 = 10 طرق ....
وهكذآآ ...
***
الأهم هو كيفية حل المسائل الحياتيّة بإستخدام التوافيق والتباديل ....
* ملاحظآت مهمة :::
التباديل والتوافيق يختلفان في شئ أساسي هو الترتيب
في التباديل نهتم بالتريب بينما في التوافيق لانهتم بالترتيب ...
التباديل : واحد ورآء الآخر , نهتم بالترتيب ...
التوافيق : اختيار , تكوين , تشكيل , الترتيب غير مهم ...
مايدل على التباديل في المسألة :
1 / أختيار لجنة للقيام بأعمال مختلفة ( تحديد وظيفة كرئيس ونائب .. الخ ) ...
2 /الاختيار على التتالي ( واحد وراء الآخر )...
3 / توزيع عناصر على أماكن بحيث يشغل كل عنصر مكان واحد في نفس الوقت ..
مثال (جلوس 4 طلاب على 5 كراسي في صف واحد )
4 / السحب بدون ارجاع ( إحلال )
5 / غير مسموح بالتكرار
والتباديل الترتيب فيها مهم < - : p ..
_
مايدل على التوافيق :
1 / اختيار مجموعة اشخاص ( دون أن يحدد عمل لكل واحد )
2 /اختيار مجموعة جزئية من مجموعة كلية ...
3 / الاختيار او السحب دفعة واحدة ( معاً)...
4/الاختيار (السحب ) عشوائيا ( بدون ترتيب )..
****
أمثلة :::
(1 )
كم عدداً مكوّن من خمسة أعداد مختلفة يمكن تكوينه من خلال الاعداد 3 , 4 ,5 ,6 ,7 ؟
مُختلفة : إذن نستخدم التباديل....
5 ل 5 = 5 ! = 5 ×4 ×3 ×2 ×1 = 20 ×6 = 120 عدد
(2 )
مجلس إدارة شركة يتألف من ثمانية أعضاء
أ / بكم طريقة يمكن أن نختار منهم رئيساً وأميناً ومحاسباً!
ب / بكم طريقة يمكن أن نختار منهم ثلاثة أعضاء دون تحديد وظائف لهم!
الحل :
أ : نهتم بالترتيب إذاً الحل بالتباديل
8ل3 = 8×7×6 = 336 طريقة...
ب : لا نهتم بالترتيب لأن المطلوب أي ثلاثة أعضاء يكون الحل بالتوافيق...
8 فوق 3 = ( 8 ل3) / 3! = 336 / 6 = 56 طريقة..
(3)
مجلس إدارة مكون من 13 عضو ، بكم طريقة يمكن إتخاذ قرار بإتفاق 9 أعضاء ضد 4 أعضاء؟!
نلاحظ هنا لا نهتم بالترتيب والتحديد المطلوب أي 9 أعضاء
يكون الحل بالتوافيق:
13 فوق 9 = 13 فوق 4 = 715 طريقة
(4 )
بكم طريقة يمكن اختيار فريق كرة السلة المكون من خمسة لاعبين من بين 10 طلاب متميزين في لعبة كرة السلة ؟
الحل :-
الترتيب هنآ غير مُهم
.’. نستخدم التوافيق
( 10 فوق 5 ) = ( 10 × 9 × 8 × 7 × 6 ) / ( 5 × 4 × 3 × 2 × 1 ) = 252 طريقة ...
(5 )
عدد طرق اختيار 5 كتب من 8 كتب مختلفة يساوي كم : ؟!
الترتيب غــير مُهم ..
( 8 فوق 5 ) = ( 8 × 7 × 6 × 5 × 4 ) / ( 5 × 4 × 3 × 2 × 1 ) = 56 طريقة ..
(6 )
أوجد عدد طرق تشكيل لجنة فرعية من 4 أشخاص من بين لجنة عامة مكونه من 12 عضواً ؟
الترتيب غير مُهم
نستخدم التوافيق .....
( 12 فوق 4 ) = ( 12 × 11 × 10 × 9 ) / ( 4 × 3 × 2 × 1 ) = 495طريقة
.....
****
مواضيع مشابهة أو ذات علاقة بالموضوع :
ليست هناك تعليقات:
إرسال تعليق
أهلا بك ،
أشكر لك إطلاعك على الموضوع و أن رغبت في التعليق ،
فأرجو أن تضع إسمك ولو حتى إسما مستعارا للرد عليه عند تعدد التعليقات
كما أرجو أن نراعي أخلاقيات المسلم;حتى لانضطر لحذف التعليق
تقبل أطيب تحية
ملاحظة: يمنع منعا باتا وضع أية : روابط - إعلانات -أرقام هواتف
وسيتم الحذف فورا ..