المتتاليات ( أو المتواليات ) الحسابية ( أو العددية ) Arithmetic series

المتسلسلة الحسابية هي متوالية حسابية وضع بين حدودها إشارة المجموع مثلاً :
المتتالية الحسابية 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، ... الخ .
تصبح متسلسلة إذا كتبناها على شكل

مجموع 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... الخ .

إذن بتعبير آخر المتسلسلة الحسابية هي مجموع حدود المتوالية الحسابية .

إيجاد مجموع متسلسلة حسابية :

سيجما .

لكتابة المجموع يستخدم الرياضيون الحرف اليوناني

 ما مجموع المتسلسلة 1 + 3 + 5 ... حتى 20 حداً ؟

 

طلبنا منك في السؤال أعلاه إيجاد مجموع المتسلسلة 1 + 3 + 5 ... حتى الحد العشرون ، يمكن متابعة بقية الحدود والجمع المباشر ، ولكن هذه الطريقة غير عملية لمتتاليات معقدة وكبيرة ، ولذلك وجد الرياضيون علاقات وقوانين لإيجاد المجموع.  لنحاول الآن الإجابة على بعض الأسئلة البسيطة للتعرف على طرق إيجاد المجموع :
ـ ما الحد الأول لهذه المتسلسلة ؟

ـ ما أساس هذه المتسلسلة  ؟

ـ ما الحد العام لهذه المتسلسلة ؟

أ _ن = 1 + 2 ( ن ـ 1)

     = 1 + 2 ن ـ 2

    = 2 ن ـ 1

ـ ما الحد العشرون لها ؟

إنه ( 2 × 20 ) ـ 1 = 39 .

ـ يمكن أن نكتب المتسلسلة حتى الحد العشرين 1 + 3 + 5 + 7 + 9 ... 39 .

ـ ويمكن أن نكتبها معكوسة من الحد العشرين إلى الحد الأول كما يلي 39 +37 + 35 + 33 + 31

ـ والآن لنكتب المتسلسلة المكونة من عشرين حداً ومعكوسها .

39	...	9 +	7 +	5 +	3 +	1 +	لنرمز للمجموع بالرمز جـ =
1	...	31 +	33 +	35 +	37 +	39 +	جـ =
40( عدد الحدود 20 ) .	...	40 +	40 +	40 +	40 +	40 +	2جـ =

2جـ = ( الحد الأول + الحد الأخير ) × عدد الحدود .

2جـ = ( أ₁ + أ _ن ) × ن

 أي أن مجموع  المتتالية = ( الحد الأول + الحد الأخير ) × نصف عدد الحدود .

وفي حالتنا هذه :

   = 40 × 10 = 400 .

مثال محلول :

الحل : ما الحد الأول للمتوالية ؟

ما أساس المتوالية ؟

ما الحد العام للمتوالية ؟

الحد العام = 5 + 7 ( ن ـ 1 )

       أن = 5 + 7 ن ـ 7

          = 7 ن ـ 2

ما الحد الحادي والخمسون لها ؟

= ( 7 × 51 ) ـ 2

= 357 ـ 2 = 355 .

الرمز المختصر لمجموع متسلسلة : قلنا في بداية هذا الموضوع أن علماء الرياضيات اتفقوا على استخدام الحرف 

سيجما للدلالة على المجموع فمثلاً تجد عادة في كتب الرياضيات الرمز

اليوناني

 أما معناه وقراءته فهي : مجموع الأعداد على الصورة ( 3 ن ـ 5) من ن = 1 إلى ن = 9 .

في مثالنا المحلول السابق يمكن أن نعبر عن المجموع كما يلي :

إن المتغير ن يمكن أن يأخذ أي رمز آخر مثل س ، ص  ، هـ ... الخ .

وهو يوضع تحت إشارة المجموع ويسمى الدليل وبالطبع يأخد أعداداً طبيعية فقط .

مثال محلول  (1):

الحل :
ـ كم عدد الحدود المطلوب إيجاد مجموعها ؟ ............ إنه (5) .

ـ كم الحد الاول من هذه المتسلسلة ؟ إنه ¹3 ـ 7 = 3 ـ 7 = -4 .

ـ كم الحد الثاني منها ؟ إنه = ²3 ـ 7 = 9 ـ 7 = 2 .

وهكذا ... إذن

= ( 13 ـ 7 ) + ( 23 ـ 7 ) + (33 ـ 7 ) + ( 43 ـ 7 ) + ( 53 ـ 7 ) .
= -4 + 2 + 20 + 74 + 236 = 328 .

 

اكتب الحدين الثالث والثامن للمتسلسلة

مثال محلول  (2):

الحل :  الحد الثالث = ( 4 × 3 ) ـ 1 = 12 ـ 1  = 11 .

         الحد الثامن = ( 8 × 4 ) ـ 1 = 32 ـ 1 = 31 .

 

اكتب الحدود السبعة الأولى للمتباينة المرتبطة بالمتسلسلة

مثال (3) :

الحل :

ـ ما الحد الأول للمتتالية  ؟ إنه 2 ^{1 – 1} ـ 5 = 2 ^صفر ـ 5 = 1 ـ 5 = -4  .

الحد الثاني لها = 2 2 ـ 1 ـ 5 = 12 ـ 5 = -3 .
الحد الثالث = 2 3 ـ 1 ـ 5 = 4 ـ 5 = -1 .
الحد الرابع = 2 4 ـ 1 ـ 5 = 8 ـ 5 = 3 .
الحد الخامس ....
الحد السادس ...
الحد السابع = 2 7 ـ 1 ـ 5 = 62 ـ 5 = 64 ـ 5 = 59 .

مثال (4) : أوجد الحد النوني للمتسلسلة حيث مجموع أول ن حداً منها = ن² ـ 2 ن .

الحل : الحد النوني هو الحد الذي ترتيبه ن .

والحد الذي يسبقه هو الحد الذي ترتيبه ن ـ 1 .

جـ _ن = ن² ـ 2 ن

جـ _{ن ـ 1} = ( ن ـ 1)² ـ 2 ( ن ـ 1)

           = ن² ـ 2ن + 1 ـ2ن + 2

           = ن² ـ 4 ن + 3

فإذا طرحنا جـ _ن ـ جـ _{ن ـ 1} = ( ن² ـ 2 ن ) ـ ( ن² ـ 4 ن + 3 )

نحصل على الحد النوني = ن² ـ 2ن ـ ن² + 4 ن ـ 3

                        = 2ن ـ 3.

يوجد طرق أخرى للحل ... جرب أن تجد بنفسك واحدة منها على الأقل .

 

مثال (5) : استخدم رمز المجموع للتعبير عن المتسلسلة 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13

الحل : حتى نستطيع أن نكتب رمزاً للمجموع علينا أن نجد رمزاً للحد العام ونلاحظ هنا أن 3 = ( 2 × 1 ) + 1

وأن 5 = ( 2 × 2 ) + 1  .

    7 = ( 2 × 3 ) + 1 .

الحد النوني أ _ن = ( 2 × ن ) + 1 = 2 ن + 1

نستطيع أن نكتب الآن

 

تدريب (1) : اكتب الحدود الخمسة الأولى لكل متسلسلة من الآتية دون استخدام رمز المجموع .

 

إيجاد مجموع متسلسلة حسابية :

 

تدريب (2) : اكتب المتسلسلة الآتية بذكر حدودها دون استخدام رمز المجموع .

مثال محلول :

الحل : الحد العام  أ _ك = ك²

إذن حدودها هي (1)² ، (2)² ، (3)² ، (4)2 = 1 ، 4 ، 9 ، 16 .

إجابة السؤال

 

تدريب (3) : استخدم رمز المجموع   للتعبير عن المتسلسلات الآتية :

أ. 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 .
 

ب. صفر + 3 + 8 + 15 + ... .
 

http://www.schoolarabia.net/math/general_math/level4/arithmetic_progressions/6.htm