التباديل و التوافيق

التباديل والتوافيق هما مفاهيم رياضية أساسية تستخدم في نظرية الاحتمالات وعلم الاحصاء:

التباديل (Permutations):

• التعريف: التباديل هو عدد الطرق المختلفة التي يمكن ترتيب مجموعة من الأشياء أو العناصر بها، حيث يعتبر الترتيب مهمًا.
• الرمز: يُرمز لعدد التباديل من

  $n$

  عنصر مأخوذ

  $r$

  عناصر في كل مرة بـ

  $P(n,r)$

  أو

  $nPr$

  .
• الصيغة:

  $P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}$

  حيث

  $n!$

  هو مضروب

  $n$

  ، أي حاصل ضرب جميع الأعداد الطبيعية من 1 إلى

  $n$

  .

التوافيق (Combinations):

• التعريف: التوافيق تعني عدد الطرق التي يمكن اختيار عناصر من مجموعة ما دون الاهتمام بترتيبها.
• الرمز: يُرمز لعدد التوافيق من

  $n$

  عنصر مأخوذ

  $r$

  عناصر في كل مرة بـ

  $C(n,r)$

  أو

  $nCr$

  .
• الصيغة:

  $C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$

  .

الفرق بين التباديل والتوافيق:

• الترتيب: التباديل تأخذ الترتيب في الاعتبار، بينما التوافيق لا تهتم بالترتيب. مثلاً، الطريقة الأولى لترتيب أ، ب، ج مختلفة عن ب، أ، ج في التباديل، لكنهما نفس التوفيق.
• التطبيقات: تستخدم التباديل في حالات حيث يعتمد النتيجة على الترتيب، مثل تشكيل كلمة من حروف معينة أو ترتيب الرياضيين في مسابقة. أما التوافيق فتستخدم عندما نحتاج لعدد الطرق لاختيار عناصر دون ترتيب مثل تشكيل فريق أو لجنة.

للحصول على مزيد من التفاصيل والأمثلة، يمكن الرجوع إلى المصادر التالية:

• شرح قوانين التباديل والتوافيق
  

  شرح قوانين التباديل

  قوانين التباديل هي مجموعة من القواعد التي تساعد في حساب عدد الترتيبات الممكنة لعناصر ما. إليك شرح لبعض القوانين الأساسية للتباديل:

  
  

  1. قانون التباديل الكلي:

  • تعريف: عدد الترتيبات الكلية لـ

    $n$

    عنصر.
  • الصيغة:

    $P(n,n)=n!$
  • مثال: إذا كان لديك 4 أشياء لترتيبها، فإن عدد التباديل هو

    $4!=4\times 3\times 2\times 1=24$

    .

  
  

  2. قانون التباديل لترتيب

  $r$

  عناصر من

  $n$

  عنصر:

  • تعريف: عدد الترتيبات الممكنة عند أخذ

    $r$

    عناصر من

    $n$

    عنصر.
  • الصيغة:

    $P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}$
  • مثال: لو كان لديك 5 كتب وتريد ترتيب 3 منها فقط، فإن عدد التباديل هو

    $P(5,3)=\frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5\times 4\times 3!}{2!}=5\times 4=20$

    .

  
  

  3. تباديل مع تكرار:

  • تعريف: عندما يكون لديك عناصر متكررة، تؤثر هذه التكرارات على عدد التباديل.
  • الصيغة: إذا كان لديك

    $n$

    عناصر حيث يتكرر النوع الأول

    $n_1$

    مرات، النوع الثاني

    $n_2$

    مرات، وهكذا، فعدد التباديل هو

    $\frac{n!}{n_1!\cdot n_2!\cdot \mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\cdot n_k!}$

    .
  • مثال: إذا كان لديك كلمة مثل "MOM"، فإن عدد التباديل هو

    $\frac{3!}{2!}=3$

    . الكلمة "MOM" يمكن كتابتها بثلاث طرق: MOM, OMM, MMO.

  
  

  4. تباديل مع قيود:

  • تعريف: عندما يوجد قيود على الترتيب، مثل أن يكون عنصر معين في موقع معين.
  • الصيغة: تعتمد على القيود، لكن بشكل عام، نحسب التباديل للجزء غير المقيد ثم نضرب في عدد الطرق لتحقيق القيد.
  • مثال: إذا كان لديك 4 كتب وتريد أن يكون الكتاب الأول في المكان الأول، فإن عدد التباديل لبقية الكتب هو

    $3!=6$

    .

  
  

  ملاحظات:

  • الفاكتوريال:

    $n!$

    يعني مضروب

    $n$

    ، أي

    $n\times (n-1)\times \mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\times 1$

    .
  • التباديل مقابل التوافيق: يجب تمييز بين التباديل حيث يهم الترتيب، والتوافيق حيث لا يهم الترتيب.

  
  

  هذه هي الأسس الرئيسية لقوانين التباديل. لكل قانون تطبيقاته العملية في مجالات مثل الاحتمالات، الرياضيات النظرية، وحتى في حل مشاكل الحياة اليومية.

  
  

  
  

  الفرق بين التباديل والتوافيق

  الفرق بين التباديل والتوافيق يتمحور حول مفهوم الترتيب، وهنا تفصيل للكيفية التي يختلف بها هذان المفهومان:

  
  

  التباديل (Permutations):

  • التعريف: التباديل هو عدد الطرق المختلفة التي يمكن ترتيب مجموعة من الأشياء أو العناصر بها، حيث يعتبر الترتيب مهمًا.
  • الصيغة:

    $P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}$
    • حيث

      $n$

      هو عدد العناصر الكلية و

      $r$

      هو عدد العناصر المأخوذة في كل مرة.
  • مثال: إذا كان لديك ثلاثة أشياء (أ، ب، ج) وتريد ترتيبها، فإن التباديل هي:
    • أبج، أجب، بأج، بجأ، جأب، جبأ (6 ترتيبات مختلفة).
  • التطبيق: استخدامه في حالات حيث الترتيب يغير النتيجة، مثل رموز السر أو ترتيب اللاعبين في مسابقة.

  
  

  التوافيق (Combinations):

  • التعريف: التوافيق تعني عدد الطرق التي يمكن اختيار عناصر من مجموعة ما دون الاهتمام بترتيبها.
  • الصيغة:

    $C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$
    • حيث

      $n$

      هو عدد العناصر الكلية و

      $r$

      هو عدد العناصر المأخوذة في كل مرة.
  • مثال: إذا كان لديك نفس الثلاثة أشياء (أ، ب، ج) وتريد اختيار 2 منها فقط، فإن التوافيق هي:
    • أب، أج، بج (3 اختيارات مختلفة، لأن الترتيب غير مهم).
  • التطبيق: استخدامه في حالات حيث الاختيار فقط يعني النتيجة، مثل تكوين فريق أو لجنة من عدد معين من الأشخاص حيث لا يهم من سيكون في أي مكان.

  
  

  الفروق الرئيسية:

  • الترتيب: في التباديل، الترتيب مهم (أبج مختلف عن بأج)، بينما في التوافيق، الترتيب لا يهم (أب نفسه بأ).
  • العدد: التباديل يعطي عددًا أكبر من التوافيق لنفس العناصر لأنه يأخذ كل ترتيب ممكن في الاعتبار.
  • الاستخدام: التباديل يستخدم عندما النتيجة تعتمد على الترتيب، أما التوافيق فهي عندما لا يهم الترتيب.

  
  

  باختصار، إذا كنت تبحث عن عدد الطرق لاختيار العناصر دون ترتيب، فأنت بحاجة إلى التوافيق. وإذا كنت تبحث عن عدد الطرق لترتيب العناصر حيث يهم الترتيب، فأنت بحاجة إلى التباديل.

  
  

  أمثلة على التباديل والتوافيق

  إليك بعض الأمثلة لتوضيح الفرق بين التباديل والتوافيق:

  
  

  أمثلة على التباديل:

  1. ترتيب الحروف في كلمة:
     • إذا كان لديك الحروف "A، B، C"، فكم الترتيبات الممكنة لها؟
       • التباديل: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA (6 ترتيبات)
  2. رمز سري:
     • إذا كان لديك 4 أرقام (1, 2, 3, 4) وتريد ترتيبها لصنع رمز سري من 4 أرقام، فكم من الممكنات؟
       • التباديل:

         $P(4,4)=4!=24$
  3. ترتيب الرياضيين في مسابقة:
     • في سباق لـ 5 رياضيين، كم من الترتيبات الممكنة للأول، الثاني، والثالث؟
       • التباديل:

         $P(5,3)=\frac{5!}{(5-3)!}=60$

  
  

  أمثلة على التوافيق:

  1. تشكيل فريق من لاعبين:
     • إذا كان لديك 7 لاعبين وتريد تشكيل فريق من 3 لاعبين فقط، فكم من الطرق للاختيار؟
       • التوافيق:

         $C(7,3)=\frac{7!}{3!\cdot 4!}=35$
  2. اختيار الحلويات:
     • إذا كان هناك 6 أنواع من الحلويات وتريد اختيار 4 منها لوضعها في هدية، فكم من الطرق الممكنة للاختيار؟
       • التوافيق:

         $C(6,4)=\frac{6!}{4!\cdot 2!}=15$
  3. اختيار الكتب من مكتبة:
     • إذا كان لديك 10 كتب على رفك وتريد اختيار 3 منها للتبرع بها، فكم من الطرق الممكنة لاختيار الكتب؟
       • التوافيق:

         $C(10,3)=\frac{10!}{3!\cdot 7!}=120$

  
  

  توضيح الفرق بين التباديل والتوافيق:

  • في مثال ترتيب الحروف "A، B، C"، التباديل تعتبر كل ترتيب مختلفًا، بينما لو كان المطلوب اختيار 2 حروف فقط دون ترتيب (مثل تشكيل مجموعة من الحروف)، فالتوافيق ستكون: AB, AC, BC (3 توافيق).
  • في مثال تشكيل الفريق من 7 لاعبين، التوافيق تعتبر "رياضي 1، رياضي 2، رياضي 3" نفسها "رياضي 2، رياضي 1، رياضي 3" لأن الترتيب لا يهم في تشكيل الفريق.

  
  

  هذه الأمثلة توضح الفرق الأساسي حيث يهم الترتيب في التباديل، بينما التوافيق تتعامل مع الاختيار بدون اهتمام بالترتيب.
• 
  

  
  

-

---

.... مواضيع مشابهة أو ذات علاقة بالموضوع :